Endurecimento do Solo

O modelo de Endurecimento do solo, desenvolvido por Schanz et al. [1], é adequado à modelação de vários solos moles. O modelo combina dois mecanismos de endurecimento. O mecanismo de endurecimento devido ao cisalhamento define o desenvolvimento de deformações plásticas causadas por componentes de tensão de desvio, enquanto que o mecanismo devido à compressão torna-se ativo durante o modo compressivo do carregamento, por exemplo, em compressão edométrica ou isotrópica. O mecanismo devido ao cisalhamento é manifestado por um desenvolvimento gradual da superfície de cedência de cisalhamento f_s^HS em função do valor atual da deformação plástica equivalente de desvio κ_s (ou γ^ps).

Este processo de endurecimento (expansão da superfície de cedência) é acompanhado pela evolução do ângulo de atrito interno mobilizado φ_m e termina ao atingir a superfície de cedência de cisalhamento limite f_s^MN. No GEO5 MEF, esta função de cedência é apresentada na forma do critério de cedência de Matsuoka-Nakai em função dos valores de pico dos parâmetros de resistência de cisalhamento, a coesão c e o ângulo de atrito interno φ. A projeção da superfície de cedência no plano de desvio tem a forma de uma curva convexa suave que atravessa todos os vértices do modelo de Mohr-Coulomb. A consequência do endurecimento devido à compressão é o desenvolvimento da superfície de cedência f_c^HS em função da evolução da pressão de pré-consolidação p_c. Também foi apresentada uma formulação semelhante para medidas de tensão invariável em [2].

A figura seguinte apresenta uma representação gráfica de ambas as superfícies de cedência. É possível observar o desenvolvimento gradual da superfície de cedência de cisalhamento, na projeção da superfície de cisalhamento no plano meridiano. O modelo de Relaxamento do solo é definido de forma semelhante mas, no entanto, apenas implementa a superfície de cisalhamento limite. O endurecimento fica, assim, limitado à compressão.

a) superfície de cedência no espaço de tensão principal, b) projeção no plano de desvio e principal e c) no plano meridiano

A formulação da superfície de cedência de cisalhamento vem do pressuposto de que a relação entre a tensão de desvio q e a deformação vertical ε₃ durante um ensaio triaxial drenado podem ser descrita através de uma função hiperbólica. A figura seguinte mostra o diagrama tensão-deformação correspondente, onde q_a corresponde ao valor da assintota de q e q_f^MC corresponde ao valore de q quando se atinge a superfície limite, para a qual q_f = R_fq_a, onde R_f corresponde ao coeficiente de redução. Pode encontrar mais detalhes no manual teórico.

Lei de tensão-deformação hiperbólica

A tabela seguinte resume os parâmetros do modelo material de Endurecimento do solo.

O módulo secante de elasticidade E_i^p,ref pode ser obtido por aproximação em função do módulo de elasticidade E₅₀^p,ref de acordo com

onde o índice (p,ref) representa um valor de referência do módulo para um dado valor de referência da tensão média efetiva σ_m^ref. O modelo assume a evolução do módulo de elasticidade como função da tensão média atual, de acordo com

De notar que esta formulação difere da utilizada nas publicações [1] e [2], por exemplo, em que a evolução da rigidez dependo da tensão principal mínima σ₁. Tal deve ser levado em consideração ao adotar parâmetros de calibração de outro software de engenharia para utilizá-los no programa GEO5 MEF. è possível recorrer a um conjunto de parâmetros modificados que permitam atingir uma correspondência de simulações entre programas. Para tal, o recurso a uma regressão linear simples será suficiente para ajustar os parâmetros E_ur^p,ref e m_p. A figura seguinte ilustra um exemplo desta aplicação.

Determinação da dependência do módulo de relaxamento/recarregamento E_ur na tensão média σ_m através de uma regressão linear

Os parâmetros modificados E₅₀^p,ref(E_i^p,ref) e R_f podem ser obtidos, consequentemente, através de um otimização pela comparação de simulações numéricas de um ensaio de compressão triaxial, para os parâmetros já determinados E_ur^p,ref e m_p.

Pode encontrar mais detalhes no manual teórico. No entanto, é expressamente recomendável, que para calibrar parâmetros específicos do modelo, com base em ensaios laboratoriais, se recorra a um software de calibração como o ExCalibre, por exemplo.

A prensa de compressão f_c^HS é determinada pelo parâmetro M que se refere à sua forma e pelo módulo de endurecimento H em função do aumento da pressão de pré-consolidação Δp_c dado o aumento da deformação plástica volumétrica Δε_v^pl. O módulo de endurecimento H é dado por

onde K_c, K_s são módulos de dilatação para o carregamento inicial e relaxamento, respetivamente. Pode encontrar mais detalhes no manual teórico. Os parâmetros podem ser inseridos diretamente ou determinados automaticamente com base nos valores do coeficiente de empuxo de terra lateral em repouso para solos normalmente consolidados K₀^NC e do módulo edométrico E_oed^ref. Isto é obtido através da otimização numérica de ensaio laboratorial edométrico. O objetivo é determinar os parâmetros do modelo M, H de forma a que o módulo edométrico estimado numericamente esteja de acordo para o definido para o valor de K₀^NC como mostra a figura seguinte. A tensão média σ_m^* e a tensão de desvio equivalente J* são dadas por

Pode encontrar mais detalhes no manual teórico.

a) representação gráfica do módulo edométrico de referência E_oed^ref para o ponto correspondente ao σ_oed^ref definido, b) tensão atual no final da otimização para σ_oed^ref

O modelo de endurecimento do solo permite modelar a dilatação (desenvolvimento de deformações plásticas volumétricas durante o cisalhamento plástico) considerando o ângulo de dilatação ψ. O desenvolvimento de deformações plásticas deve-se ao potencial plástico g_s^HS. A definição do potencial plástico é semelhante à adotada para o modelo de Drucker-Prager. A única diferença é na definição da inclinação do potencial plástico M_ψ que passa a depender do valor atual do ângulo de atrito interno mobilizado ψ_m. A equação correspondente é formulada de forma semelhante ao do modelo de Mohr-Coulomb Modificado, para a teoria de dilatação de Rowe.

onde φ, φ_m, φ_cs, ψ correspondem ao ângulo de atrito interno de pico, ao ângulo de atrito interno mobilizado, ao ângulo de atrito em estado crítico e o ângulo de dilatação de pico. A figura seguinte mostra a representação gráfica da evolução de ψ_m. A figura também mostra um corte da dilatação potencial através da definição do índice de vazios máximo e_max, para o qual se espera atingir o estado crítico em que ψ_m = 0.

Teoria de dilatação de Rowe: a) representação gráfica doa evolução do ângulo de dilatação mobilizado ψ_m, b) corte na dilatação

A evolução da rigidez depende do valor atual da tensão média efetiva σ_m. Tal está relacionado com a seleção da etapa inicial de carregamento, que implica valores muito reduzidos para que a tensão inicial seja suficientemente reduzida. De forma a acelerar a convergência, é adequado explorar o número mínimo de iterações para uma única etapa de carregamento. A influência da magnitude da etapa inicial de carregamento na evolução da tensão e da deformação está descrita em detalhe aqui.

Uma etapa importante para obter uma análise bem sucedida é a definição dos valores iniciais da tensão de pré-consolidação p_cⁱⁿ e da deformação plástica de desvio equivalente κ_sⁱⁿ. Ambos os parâmetros dependem do estado atual de tensão para o momento em que o modelo de endurecimento do solo é introduzido na análise, de forma a que o estado de tensão atual satisfaça tanto as funções de cisalhamento e de cedência. Pode encontrar mais detalhes aqui. Também é possível consultar a descrição dada para o modelo de Cam clay Modificado.

O modelo permite ajustar o valor inicial da pressão de pré-consolidação em função do grau de pré-consolidação esperado, através dos parâmetros e . Pode encontrar mais detalhes aqui. De notar que esta opção apenas está disponível ao definir a tensão geostática inicial com recurso ao procedimento K₀.

No caso de a análise implicar condições não drenadas, é possível recorrer apenas ao Tipo (1): análise para tensão efetiva (c_ef, φ_e).

O modelo de endurecimento do solo também permite realizar análises de estabilidade. No entanto, esta opção apenas está disponível ao executar a análise de estabilidade dentro da etapa de construção respetiva. Neste caso, a prensa de compressão e a evolução do ângulo de atrito mobilizado são desativados de forma semelhante. Assim, apenas fica ativa a superfície de cedência limite f_s^MN. O problema é resolvido de forma gradual, reduzindo os parâmetros de resistência ao cisalhamento de pico c, φ de forma idêntica ao descrito para o modelo de Drucker-Prager.

A performance do modelo em ensaios laboratoriais é examinada aqui, incluindo a influência da magnitude da etapa de carregamento inicial.

A menos que exista evidência experimental clara de valores diferentes, os parâmetros do modelo de endurecimento do solo devem corresponder aos valores de referência listados na tabela seguintes.

A implementação do modelo de endurecimento do solo no programa GEO5 MEF está descrito com detalhe no manual teórico.

Bibliografia:

[1] T. Schanz, P.A. Vermeer, P.G. Bonnier, The hardening soil model: Formulation and verification, Beyond 2000 in Computational Geotechnics, Balkema, Rotterdam. 1999

[2] T. Benz, Small-Strain Stiffness of Soils and its Numerical Consequences, PhD thesis, University of Stuttgart, 2007